连续系统的离散化

现代控制理论—连续系统的离散化

连续系统和离散系统

• 连续系统：时间是连续变量，状态方程和输出方程在连续时间上定义，常见形式为微分方程。
  • 状态方程： $$\begin{aligned} & \dot{x}(t)=A x(t)+B u(t) \\ & y(t)=C x(t)+D u(t) \end{aligned}$$
• 离散系统：时间是离散变量，只在特定的采样时刻(为整数，为采样周期)进行更新，常用差分形式描述。
  • 离散状态方程： $$\begin{aligned} & x(k+1)=A_d x(k)+B_d u(k) \\ & y(k)=C_d x(k)+D_d u(k) \end{aligned}$$

连续系统离散化的常见方法

矩阵指数法(Exact Discretization)

• 假设输入在一个采样周期内保持恒定(也就是在每一个输出周期内，持续保持一个输出值，直到下一个输出周期到达)，利用矩阵指数计算状态转移矩阵： $$\begin{aligned} & A_d=e^{AT} \\ & B_d=\left(\int_0^T e^{A \tau} d \tau\right)B=A^{-1}\left(e^{A T}-I\right) B \end{aligned}$$
• 这种方法精确且适合于线性系统，但计算矩阵指数需要较多计算资源。

零阶保持(ZOH，Zero-Order Hold)

• 假设在每个采样周期，输入保持恒定。这是数字控制器中最常见的假设。
• 离散化结果：
• 优点：零阶保持方法真是反映了输入的恒定值，适用于数字控制系统。
• 缺点：仅适用于输入恒定的情况，无法捕捉输入频繁变化的场景。

向后差分器(Backward Difference Method)

• 用差分近似替代连续系统的微分：
• 得到离散状态方程：
• 优点：该方法计算简单。
• 缺点：在系统动态较快时，误差较大。

双线性变换(Tustin变换)

• 双线性变换通过将-域中的系统映射到-域：
• 离散化之后的传递函数：
• 优点：保留了系统的稳定性，适用于模拟动态快的系统。
• 缺点：对于高频成分的处理不够精确。

连续系统离散化的关键问题

• 采样周期的选择：采样周期太短会导致计算成本的增加，太长会丢失系统的动态信息。通常，采样周期应满足奈奎斯特采样定律，即采样频率大于信号最高频率的两倍。
• 量化误差：离散化过程中需要考虑计算机处理中的精度限制，避免由于量化误差导致的系统不稳定性。
• 抗混叠滤波：在进行离散化之前，常需要对连续信号进行滤波处理，以避免高频成分造成混叠现象。

MATLAB实现示例

以下是MATLAB中实现连续系统到离散系统转换的代码示例：

% 定义连续系统状态空间模型
A = [0 1; -2 -3];
B = [0; 1];
C = [1 0];
D = 0;

% 采样周期
T = 0.1;

% 使用零阶保持法进行离散化
sys_c = ss(A, B, C, D);  % 连续系统
sys_d = c2d(sys_c, T, 'zoh');  % 离散系统

% 输出离散化后的系统矩阵
[A_d, B_d, C_d, D_d] = ssdata(sys_d);
disp('离散化后的系统矩阵：');
disp('A_d = '); disp(A_d);
disp('B_d = '); disp(B_d);
disp('C_d = '); disp(C_d);
disp('D_d = '); disp(D_d);